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Doblando el papelito

Hay un límite físico para la cantidad de veces que se puede doblar un papel por la mitad. Por más grande en superficie y delgado en espesor que sea el papel, después de varios dobleces (7 u 8, como máximo) no se puede seguir doblándolo.

Pero supongamos que este límite no existe. Que podemos doblarlo indefinidamente. Y supongamos, por comodidad, que es un cartón de 1mm de espesor. Al doblarlo por primera vez, su espesor será de 2mm. Al doblarlo nuevamente, tendrá 4mm de ancho. Cuando lo doblemos por tercera vez, 8mm. Etcétera. ¿Cuántas veces habrá que doblarlo para que supere el medio metro de ancho? Estaría bueno que en este punto te detengas, y “arriesgues” un número, sin hacer ninguna cuenta. Y que luego intentes calcularlo vos. Después de la imagen, está la solución.

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Este artículo no es sobre origami… pero quedaba linda la foca.

 

  • Al comienzo tiene 1mm de espesor.
  • Al doblarlo por primera vez, tiene 2mm
  • Al doblarlo por segunda vez, tiene 4mm
  • Al doblarlo por tercera vez, tiene 8mm
  • Al doblarlo por cuarta vez, tiene 16mm
  • Al doblarlo por quinta vez, tiene 32mm
  • Al doblarlo por sexta vez, tiene 64mm
  • Al doblarlo por séptima vez, tiene 128mm
  • Al doblarlo por octava vez, tiene 256mm
  • Al doblarlo por novena vez, tiene 512mm, que es más de medio metro.

Por lo tanto, para que el papel supere el medio metro de ancho, debe ser doblado 9 o más veces.

Ahora bien, ¿es posible obtener este resultado (9) sin “pasar” por los 8 anteriores?

Sí, planteándolo como una ecuación, y echando mano a los logaritmos. Vemos que, el espesor después del primer doblez es 2^1 (dos a la uno), después del 2º doblez, es 2^2 (dos al cuadrado), después del tercer doblez, 2^3 (dos al cubo), etc. Por lo tanto, queremos averiguar x, tal que:

ecuacion

Y así llegamos al resultado “directamente”; sin hacer cálculos intermedios.

Eso nos permite hacer otros cálculos:

Desde Ushuaia (en el extremo sur de Argentina, si no tomamos en cuenta el sector antártico), hasta La Quiaca (en el extremo norte, en el límite con Bolivia), hay 5171km. ¿Cuántas veces hay que doblar el papel para que abarque toda la latitud continental de nuestro extenso país?

Cartel en Ushuaia, provincia de Tierra del Fuego

Cartel en Ushuaia, provincia de Tierra del Fuego

5171km = 5 171 000 000mm (cinco mil millones 171 mil milímetros)
log25171000000 = 32,267796159

O sea que si doblamos 33 veces el cartón de 1mm, abarcaría todo el país. Llama la atención, ¿no?

Desde la tierra hasta el sol hay 149 600 000 km, es decir, 149 600 000 000 000 mm (149 billones, seiscientos mil millones de milímetros). ¿Cuántas veces hay que doblar el papel?

De la tierra al sol...

De la tierra al sol…

log2149 600 000 000 000 = 47,088103504

Es decir que si doblamos 48 veces el papel, llegamos de la tierra al sol.

La distancia desde el sol hasta el más lejano de los objetos que orbitan a su alrededor, es de 14 960 000 000 000 000mm (14960 billones de mm), este sería el “radio” del Sistema Solar. ¿Cuántas veces hay que doblar el papel para que abarque esta distancia, literalmente astronómica?

log214 960 000 000 000 000 = 53,731959693

Es decir que habría que doblar el papel 54 veces para que salga del sistema solar.

Parece sorprendente que con tan pocos dobleces imaginarios se llegue a abarcar un espesor tan desmesuradamente grande. Menos mal que es nada más que un juego matemático solamente. ¿O no?

Esto es lo que se llama una sucesión geométrica. Con razonamientos parecidos, se calcula el interés compuesto. Si estás leyendo esto en un dispositivo que compraste en cuotas, probablemente te convenga no atrasarte en los pagos, porque así de rápido crecen las deudas. Así se calculan también los intereses de la ilegítima deuda externa que pagan nuestros países… a lo mejor el “juego matemático” ya no te parezca tan inocente.

Fuente de las imágenes: 1 2 3

 
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Publicado por en 06/04/2015 en Educación

 

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Mi abuela y la matemática

“Llevátelo todo, las pilchas, el vento,
pero a ella dejala, porque es mi mujer.”
(Abuela Juana, ante una racha positiva de su adversario)

Muchos a mi edad ya están terminando posgrados y publicando “péipers”. Me estoy poniendo viejo, y sigo renegando en la facultad, en pos del dudoso privilegio de tener un diploma de ingeniero.

Volvía. Me subí al colectivo. Había aprobado una materia y estaba entrando en ese inevitable desengaño que viene después de los exámenes: el desmedido festejo que pensaba hacer si aprobaba no iba a suceder A nadie le importaba esa firma en la libreta. No digo “nadie” refiriéndome a las personas que viajaban en el bondi o iban por la calle. Digo: la gente que me conoce y me quiere pregunta cómo me fue, le digo “bien”, “te felicito”, “gracias”. “Te felicito”, eso solo. Y el Universo ahí, imperturbable.

En un par de horas ni yo mismo me voy a acordar de los días (¡y las noches!) de estudio. No fueron fáciles.

(Por qué no traducirán los apuntes, digo yo, si estamos en Argentina. ¿Y la página 612? Falta. Quién le enseñó a usar la fotocopiadora a ese muchacho, si no sabe hacer la “o” con un vaso. Qué es lo que es esta fórmula que no sé de adónde salió. ¡Ah! Integra el divisor de cero a equis y luego multiplica ambos miembros por e a la menos lambda. Por qué no te pisa un tren, atorrante, delincuente. Escribís un libro de mil páginas y por ahorrarte dos renglones no me explicás de adónde sacaste la fórmula, me caigo y me levanto. Hace dos horas que tengo la misma página adelante. Si miro el techo es asunto mío, qué te metés. La transpiración me chorrea por el brazo y se me corrió el grafito de la hoja: ahora mi resumen, que ya era desprolijo, es además repugnante.)

A veces me quejo, es cierto. Pero no reniego de la matemática, en absoluto. Me cae simpática, digamos. La Universidad se empeñó en sembrar cizaña entre ella y yo, pero no logró nada. La pelota no se mancha.

Volvía en el bondi, les decía. Y me puse a pensar desde cuándo esta simpatía. Me remonté al secundario. Nada. La primaria quizá. No. Antes. En ese entrevero de imágenes sueltas que llamamos infancia. La abuela Juana. Ella fue. Sin duda.

La abuela Juana en realidad es la mamá de mi abuela Mecha, o sea, mi bisabuela. Pero yo les digo “abuela” a las dos. Vive en el fondo de casa. “Vivía”, corregirá algún detallista que me recuerde que murió hace diez años. Pero yo sé muy bien que la muerte es un argumento demasiado débil para la gente como mi abuela. Si hablo de la abuela, hablo en presente, al que no le guste, que lea otra cosa.

Cuando en el preescolar me estaban enseñando a contar, a la tipa se le ocurre enseñarme a jugar a la escoba del 15. “Nada de casita robada”, dice. Y así fue que, cuando empecé la primaria, la maestra se sorprendió porque yo sabía sumar.

Mentira. Lo que yo sabía era jugar a la escoba con mi abuela. La matemática era una ciencia subsidiaria de la timba. Los números mayores o iguales a dieciséis no tenían razón de ser. Los porotos servían para llevar la cuenta, jamás se me habría ocurrido que eso se comía. La docente no quería entrar en razones, insistía en que yo sabía sumar.

-“Ya conté”, dice la abuela. Pero me deja contar mis cartas.
-“Velo, la setenta y dos escobas”.
Y me da los cuatro porotos.

Nos divertimos, pero no jugamos displicentemente. Nada de dejarme ganar. No hay peor gente que la que deja ganar a un adversario, nomás porque es chico. A cara de perro.

Una cosa que me asombra de la abuela es su capacidad para saber, una vez terminada la mano, si alguien se equivocó. El que se equivoca pierde todos los puntos. Se guardó el misterio un par de años, después me contó, pero lo que no me acuerdo es cómo me lo contó.

Lo explico yo, con mucha menos gracia:
En cada uno de los cuatro palos, las cartas valen su número, pero la sota vale 8, el caballo, 9 y el rey,10.
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) * 4 palos = 220
220/15=14, resto 10.
Por lo tanto, las cartas que queden en la mesa tienen que sumar 10. (O bien 10+15=25, o 10+15+15=40, si es que algún juego no se había formado). Por eso, nunca hay que quedarse con el rey en la mano al final, porque la abuela hace escoba. Y uno se queda con el rey en la mano, como un pavote.

Al empezar, se ponen cuatro cartas boca arriba en la mesa. Pueden jugar 2, 3, 4, o 6 personas. Los naipes se reparten de a 3, y nunca sobran ni faltan. Después entendí que (40-4)=36 es divisible por (2*3), (3*3), (4*3) y (6*3). Aunque jugar de a seis es cualquier cosa. “Muchas manos en un plato…” dice la abuela, que nunca termina los refranes.

Si la abuela hizo escoba, conviene tirar una carta chica, cuatro o menos. Claro, porque no hay once ni doce. Nunca hay que dejar ocho en la mesa, para que la abuela no se lleve el velo. Se lo lleva siempre, no sé cómo hace. Me tengo que fijar bien: si tiro una carta y se podía levantar, la abuela se lo agarra para ella. ¿Cuál le tiro? El caballo no, capaz que tiene un seis. Se le reflejan los naipes en los lentes, pero como son medio verdes no veo qué carta tiene. Mejor tiro esta, que no es de oro. Hay que juntar oros.

Otros pibes prefieren hacer rin-raje y patear cascotes en la cortada. Yo salgo de vez en cuando, pero me gusta más quedarme a jugar con la abuela, a ver si hoy le puedo ganar. Otros tipos buscan divertirse en discotecas y borracheras, manejando a 140. “Este fin de semana no puedo, rindo el martes”, me excuso, agradeciendo al que programó los exámenes.

El primer libro de matemática que leí tenía 40 páginas. La gráfica más complicada era el rey de espadas, nada de ejes cartesianos en tres dimensiones. La primera maestra no tenía ningún “máster”: la abuela Juana tuvo que dejar la escuela en segundo grado. Cómo no enamorarse de la matemática con semejante currículum.

Dicen que no la comprenden. Es más: se jactan de su ignorancia. “Yo de números no entiendo nada”, afirman y lo miran a uno como esperando aprobación. Esta pobre gente pretende hacernos creer que matemática y belleza son dos cosas distintas. No se saldrán con la suya. (Siempre había querido decir esa frase).

Menos mal que están Tales de Mileto, Arquímedes, Fermat, Pascal y la abuela Juana para hacernos acordar de que la belleza es belleza: sea una sinfonía de Beethoven, un amanecer en el mar, la demostración del teorema de Pitágoras o un partido de escoba en el patio.

Firmado: “El nene” (la abuela nunca se acuerda de mi nombre).

PD: Mientras termino de escribir esto, descubro que se me hizo tarde: Dolina ya está cantando tanguitos por la radio. Los mismos que canta la abuela. Qué fácil es ser feliz.

 
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Publicado por en 14/04/2011 en Personal

 

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