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Doblando el papelito

06 Abr

Hay un límite físico para la cantidad de veces que se puede doblar un papel por la mitad. Por más grande en superficie y delgado en espesor que sea el papel, después de varios dobleces (7 u 8, como máximo) no se puede seguir doblándolo.

Pero supongamos que este límite no existe. Que podemos doblarlo indefinidamente. Y supongamos, por comodidad, que es un cartón de 1mm de espesor. Al doblarlo por primera vez, su espesor será de 2mm. Al doblarlo nuevamente, tendrá 4mm de ancho. Cuando lo doblemos por tercera vez, 8mm. Etcétera. ¿Cuántas veces habrá que doblarlo para que supere el medio metro de ancho? Estaría bueno que en este punto te detengas, y “arriesgues” un número, sin hacer ninguna cuenta. Y que luego intentes calcularlo vos. Después de la imagen, está la solución.

origami-156627_640

Este artículo no es sobre origami… pero quedaba linda la foca.

 

  • Al comienzo tiene 1mm de espesor.
  • Al doblarlo por primera vez, tiene 2mm
  • Al doblarlo por segunda vez, tiene 4mm
  • Al doblarlo por tercera vez, tiene 8mm
  • Al doblarlo por cuarta vez, tiene 16mm
  • Al doblarlo por quinta vez, tiene 32mm
  • Al doblarlo por sexta vez, tiene 64mm
  • Al doblarlo por séptima vez, tiene 128mm
  • Al doblarlo por octava vez, tiene 256mm
  • Al doblarlo por novena vez, tiene 512mm, que es más de medio metro.

Por lo tanto, para que el papel supere el medio metro de ancho, debe ser doblado 9 o más veces.

Ahora bien, ¿es posible obtener este resultado (9) sin “pasar” por los 8 anteriores?

Sí, planteándolo como una ecuación, y echando mano a los logaritmos. Vemos que, el espesor después del primer doblez es 2^1 (dos a la uno), después del 2º doblez, es 2^2 (dos al cuadrado), después del tercer doblez, 2^3 (dos al cubo), etc. Por lo tanto, queremos averiguar x, tal que:

ecuacion

Y así llegamos al resultado “directamente”; sin hacer cálculos intermedios.

Eso nos permite hacer otros cálculos:

Desde Ushuaia (en el extremo sur de Argentina, si no tomamos en cuenta el sector antártico), hasta La Quiaca (en el extremo norte, en el límite con Bolivia), hay 5171km. ¿Cuántas veces hay que doblar el papel para que abarque toda la latitud continental de nuestro extenso país?

Cartel en Ushuaia, provincia de Tierra del Fuego

Cartel en Ushuaia, provincia de Tierra del Fuego

5171km = 5 171 000 000mm (cinco mil millones 171 mil milímetros)
log25171000000 = 32,267796159

O sea que si doblamos 33 veces el cartón de 1mm, abarcaría todo el país. Llama la atención, ¿no?

Desde la tierra hasta el sol hay 149 600 000 km, es decir, 149 600 000 000 000 mm (149 billones, seiscientos mil millones de milímetros). ¿Cuántas veces hay que doblar el papel?

De la tierra al sol...

De la tierra al sol…

log2149 600 000 000 000 = 47,088103504

Es decir que si doblamos 48 veces el papel, llegamos de la tierra al sol.

La distancia desde el sol hasta el más lejano de los objetos que orbitan a su alrededor, es de 14 960 000 000 000 000mm (14960 billones de mm), este sería el “radio” del Sistema Solar. ¿Cuántas veces hay que doblar el papel para que abarque esta distancia, literalmente astronómica?

log214 960 000 000 000 000 = 53,731959693

Es decir que habría que doblar el papel 54 veces para que salga del sistema solar.

Parece sorprendente que con tan pocos dobleces imaginarios se llegue a abarcar un espesor tan desmesuradamente grande. Menos mal que es nada más que un juego matemático solamente. ¿O no?

Esto es lo que se llama una sucesión geométrica. Con razonamientos parecidos, se calcula el interés compuesto. Si estás leyendo esto en un dispositivo que compraste en cuotas, probablemente te convenga no atrasarte en los pagos, porque así de rápido crecen las deudas. Así se calculan también los intereses de la ilegítima deuda externa que pagan nuestros países… a lo mejor el “juego matemático” ya no te parezca tan inocente.

Fuente de las imágenes: 1 2 3

 
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Publicado por en 06/04/2015 en Educación

 

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